1.
Melakukan operasi hitung bilangan bulat
dalam pemecahan masalah.
Kompetensi
Dasar:
1.1
. Melakukan operasi hitung bilangan bulat
termasuk penggunaan sifat-sifatnya, pembulatan, dan penaksiran.
1.2
. Melakukan operasi hitung bilangan bulat
dalam pemecahan masalah
A.
Sifat-Sifat
Pengerjaan Hitung pada Bilangan Bulat
Sifat-sifat pengerjaan
hitung pada bilangan bulat ada Tiga yaitu: sifat komutatif, asosiatif, dan
distributif. Mungkin kamu pernah menggunakan sifat-sifat tersebut, tetapi belum
tahu sifat-sifatnya. Mari perhatikan penjelasan berikut.
1.
Sifat Komutatif (Pertukaran)
a.
Sifat komutatif pada penjumlahan
Sifat komutatif merupakan
sifat pertukaran. Misal ada penjumlahan atau perkalian dua buah bilangan. Jika
kedua bilangan ditukarkan hasilnya tetap sama. Apakah pertukaran berlaku untuk
pengurangannya?
Untuk memahami sifat
komutatif, perhatikan contoh di bawah ini:
Penjumlahan
Contoh: 56 + 64 = 120 dan
64 + 56 = 120 sehingga 56 + 64 = 64 + 56
Perkalian
Contoh: 12 x 24 = 288 dan
24 x 12 = 24 sehingga 12 x 24 = 24 x 12
Perhatikan operasi
berikut ini!
19 – 6 = 13 dan 6 – 19 =
– 13, sehingga dapat disimpulkan sifat komutatif tidak berlaku pada pengurangan.
Cara penjumlahan seperti ini menggunakan sifat komutatif. Secara umum, sifat
komutatif pada penjumlahan dapat ditulis sebagai berikut.
a + b = b + a
Dengan a dan b sembarang
bilangan bulat.
Sifat komutatif pada perkalian
Jumlah kelereng Asep dan Alexs
sama, yaitu 8 butir. Kelereng Asep dimasukkan ke empat kantong plastik. Setiap
kantong berisi 2 butir.
Kelereng Alexs dimasukkan
ke dua kantong plastik. Setiap kantong berisi 4 butir.
Kelereng Asep dan Alexs
dapat ditulis sebagai berikut. Kelereng Asep = 2 + 2 + 2 + 2
= 4 × 2 = 8
Kelereng Alexs = 4 + 4
= 2 × 4 = 8
Jadi, 4 × 2 = 2 × 4.
Cara perkalian seperti
ini menggunakan sifat komutatif pada perkalian.
Secara umum, sifat
komutatif pada perkalian dapat ditulis:
a × b = b × a
Dengan a dan b sembarang
bilangan bulat.
2.
Sifat Asosiatif (Pengelompokan)
a.
Sifat asosiatif merupakan sifat pengelompokan.
Misalnya operasi
penjumlahan atau perkalian tiga buah bilangan. Operasi tersebut dikelompokkan
secara berbeda.Hasil operasinya tetap sama.
(2 + 3) + 4 = 5 + 4 = 9
2 + (3 + 4) = 2 + 7 = 9
Jadi, (2 + 3) + 4 = 2 +
(3 + 4).
Sifat seperti ini
dinamakan sifat asosiatif pada penjumlahan. Sekarang, coba perhatikan contoh
perkalian berikut.
(2 × 3) × 4 = 6 × 4 = 24
2 × (3 × 4) = 2 × 12 = 24
Jadi, (2 × 3) × 4 = 2 ×
(3 × 4).
Cara penjumlahan seperti
ini menggunakan sifat asosiatif pada penjumlahan.
Secara umum, sifat
asosiatif pada penjumlahan dapat ditulis:
(a + b) + c = a + (b + c)
Dengan a, b, dan c
sembarang bilangan bulat.
b. Sifat asosiatif pada perkalian
Asep mempunyai 2 kotak
mainan. Setiap kotak diisi 3 bungkus kelereng. Setiap bungkus berisi 4 butir
kelereng. Berapa jumlah kelereng Asep? Ada dua cara yang dapat digunakan untuk
menghitung jumlah kelereng Asep.
Cara pertama menghitung
banyak bungkus. Kemudian, hasilnya dikalikan banyak kelereng tiap bungkus.
Banyak bungkus × banyak
kelereng tiap bungkus
= (3 bungkus + 3 bungkus)
× 4 butir
= (3 + 3) × 4
= (2 × 3) × 4 = 24 butir
Cara kedua menghitung
banyak kelereng setiap kotaknya dahulu kemudian hasilnya dikalikan banyak
kotak.
Banyak kotak × banyak
kelereng
= 2 × (4 + 4 + 4)
= 2 × (3 × 4) = 24 butir
Perhitungan Cara I: (2 ×
3) × 4. Perhitungan cara II: 2 × (3 × 4).
Hasil perhitungan dengan
kedua cara adalah sama. Jadi, (2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4).
Cara perkalian seperti
ini menggunakan sifat asosiatif pada perkalian. Secara umum, sifat asosiatif
pada perkalian dapat ditulis:
(a × b) × c = a × (b × c)
dengan a, b, dan c
bilangan bulat.
3.
Sifat Distributif (Penyebaran)
Sifat distributif
merupakan sifat penyebaran. Untuk lebih memahami sifat distributif,
Contoh 1
Apakah 3 × (4 + 5) = (3 × 4) + (3 × 5)?
Jawab:
3 × (4 + 5) = 3 × 9 = 27
(3 × 4) + (3 × 5) = 12 + 15 = 27
Jadi, 3 × (4 + 5) = (3 × 4) + (3 × 5).
Contoh 2
Apakah 3 × (4 – 5) = (3 × 4) – (3 × 5)?
Jawab:
3 × (4 – 5) = 3 × (–1) = –3
(3 × 4) – (3 × 5) = 12 – 15 = –3
Jadi, 3 × (4 – 5) = (3 × 4) – (3 × 5).
Contoh 1 dan Contoh 2 menunjukkan sifat
distributif perkalian terhadap penjumlahan dan pengurangan.
Contoh berikutnya:
a. (3 × 4) + (3 × 6) = 3
× (4 + 6)
Angka pengali disatukan
3 × 4 dan 3 × 6
Mempunyai angka pengali
yang sama, yaitu 3 yang menggunakan sifat distributif.
Benarkah bahwa (5 × 13)
– (5 × 3) = 5 × (13 – 3)?
Penghitungan dilakukan
dengan cara menjumlah kedua angka yang dikalikan (4 + 6). Kemudian hasilnya
dikalikan dengan angka pengali (3).
3 × (4 + 6) = 3 × 10 =
30. Mengapa cara ini digunakan.
Karena menghitung 3 × (4
+ 6) = 3 × 10 lebih mudah daripada menghitung (3 × 4) + (3 × 6).
(5 × 13) – (5 × 3)
mempunyai angka pengali yang sama, yaitu 5.
Angka pengali disatukan
menjadi 5 × (13 – 3). Diperoleh:
(5 × 13) – (5 × 3) = 5 ×
(13 – 3) Contoh di atas merupakan pengurangan dengan sifat distributif
b.15 × (10 + 2) = (15 × 10) + (15 × 2)
Angka pengali dipisahkan
15 × (10 + 2) mempunyai
angka pengali 15
Penghitungan dilakukan
dengan cara kedua angka yang dijumlah (10 dan 2) masing-masing dikalikan dengan
angka pengali (15), kemudian hasilnya dijumlahkan.
15 × (10 + 2) = (15 × 10)
+ (15 × 2)
= 150 + 30
= 180
Cara ini juga untuk
mempermudah penghitungan karena menghitung (15 × 10) + (15 × 2) = 150 + 30
lebih mudah daripada menghitung 15 × (10 + 2)
= 15 × 12.
Cara penghitungan seperti
di atas menggunakan sifat distributif pada penjumlahan dan pengurangan. Secara
umum, sifat distributif pada penjumlahan dan pengurangan dapat ditulis:
a × (b + c) = (a × b) +
(a × c)
a × (b – c) = (a × b) –
(a × c)
Dengan a, b, dan c
bilangan bulat
4. Menggunakan Sifat Komutatif,
Asosiatif, dan Distributif Sifat komutatif, asosiatif, dan distributif dapat
digunakan untuk memudahkan perhitungan. Perhatikan contoh berikut.
Menggunakan Sifat-Sifat Operasi
Hitung
Sifat distributif dapat
kamu gunakan pada perkalian dua bilangan. Pada perkalian tersebut, salah satu
bilangannya merupakan bilangan yang cukup besar. Agar kamu lebih memahaminya,
coba pelajari contoh-contoh berikut.
Contoh 1
a. 8 × 123 = ...
b. 6 × 98 = ...
Jawab:
a. 8 × 123 = 8 × (100 + 20 + 3)
= (8 × 100) + (8 × 20) + (8
× 3)
= 800 + 160 + 24 = 984
Jadi, 8 × 123 = 984.
b. 6 × 98 = 6 × (100 – 2)
= (6 × 100) – (6 × 2)
= 600 – 12
= 588
Jadi, 6 × 98 = 588.
Contoh 2
a. (3 × 46) + (3 × 54) = ....
b. (7 × 89) – (7 × 79) = ....
Jawab:
a. (3 × 46) + (3 × 54) = 3 × (46 + 54)
= 3 × 100
= 300
Jadi, (3 × 46) + (3 × 54) = 300.
b. (7 × 89) – (7 × 79) = 7 × (89 – 79)
= 7 × 10
= 70
Jadi, (7 × 89) – (7 × 79) = 70.
Untuk lebih jelasnya kita
simak sebagi berikut:
1. Menghitung 5 × 3 × 6
Cara 1:
5 × 3 × 6 = 5 × 6 × 3
= (5 × 6) × 3
= 30 × 3
= 90
Menggunakan sifat
komutatif, yaitu menukar letak angka 3 dengan 6. Menggunakan sifat asosiatif,
yaitu mengalikan 5 dengan 6 terlebih dahulu agar mudah menghitungnya.
Cara 2:
5 × 3 × 6 = 3 × 5 × 6
= 3 × (5 × 6)
= 3 × 30
= 90
2. Menghitung 8 × 45
Menggunakan sifat
komutatif, yaitu menukar letak angka 3 dengan 5. Menggunakan sifat asosiatif,
yaitu mengalikan 5 dengan 6 terlebih dahulu agar mudah menghitungnya.
Cara 1: menggunakan sifat
distributif pada penjumlahan
8 × 45 = 8 × (40 + 5)
= (8 × 40) + (8 × 5)
= 320 + 40
= 360
Cara 2: menggunakan sifat
distributif pada pengurangan
8 × 45 = 8 × (50 – 5)
= (8 × 50) – (8 × 5)
= 400 – 40
= 360
B. Menaksir Hasil Pengerjaan Hitung Dua Bilangan
1. Menaksir Hasil Penjumlahan dan
Pengurangan
Menaksir hasil
penjumlahan atau pengurangan dua bilangan berarti memperkirakan hasil
penjumlahan atau pengurangan dari kedua bilangan tersebut. Caranya dengan
membulatkan kedua bilangan kemudian hasil pembulatan tersebut dijumlahkan atau
dikurangkan. Perhatikan contoh berikut.
a. Tentukan taksiran ke
puluhan terdekat dari 53 + 79
Langkah pertama, bulatkan
setiap bilangan ke puluhan terdekat. Caranya sebagai berikut. Perhatikan angka
satuannya. Jika satuannya kurang dari 5 dibulatkan ke nol. Jika satuannya lebih
atau sama dengan 5 dibulatkan ke 10.
5 3 50 + 0 = 50
Kurang dari 5 dibulatkan
menjadi 0 Berarti 53 dibulatkan ke puluhan terdekat menjadi 50.
7 9 70 + 10 = 80
Lebih dari 5 dibulatkan
menjadi 10
Di kelas IV kamu sudah
belajar membulatkan bilangan. Pada pembulatan ke satuan terdekat. Angka
persepuluhan (desimal) kurang dari 0, 5-dibulatkan ke nol. Sedangkan angka per-
sepuluhan (desimal) lebih atau sama dengan 0, 5 di- bulatkan ke satu.
29, 4 29 + 0 = 29
Kurang dari 5 dibulatkan
menjadi 0
23, 7 23 + 1 = 24
Lebih dari 5 dibulatkan
menjadi 1
Angka 53 lebih dekat ke
50
Daripada ke 60.
Berarti 53 dibulatkan
menjadi 50.
Angka 79 lebih dekat ke
80 daripada ke 70.
Berarti 79 dibulatkan
menjadi 80.Berarti 79 dibulatkan ke puluhan terdekat menjadi 80.
Langkah kedua, jumlahkan
hasil pembulatan dari kedua bilangan.
50 + 80 = 130
Jadi, taksiran ke puluhan
terdekat dari 53 + 79 adalah
130.
Ditulis 53 + 79 = 130.
Dibaca kira-kira, merupa-
Kan tanda yang menyatakan hasil perkiraan dari proses penghitungan.
b. Tentukan taksiran ke
ratusan terdekat dari 599 – 222
Langkah pertama, bulatkan
setiap bilangan ke ratusan terdekat. Perhatikan angka puluhannya. Jika
puluhannya kurang dari 50 dibulatkan ke nol. Jika puluhannya lebih dari 50
dibulatkan ke 100.
500 + 100 = 600
Angka 99 lebih dari 50
maka 99 dibulatkan menjadi 100.dibulatkan menjadi Angka 22 kurang dari 50 maka
22 dibulatkan menjadi 0.
222
200 + 0 = 200 dibulatkan
menjadi 200
Langkah kedua, kurangkan
hasil pembulatan dari kedua bilangan 600 – 200 = 400.
Jadi, taksiran ke ratusan
terdekat dari 599 – 222
Adalah 400.
Ditulis 599 – 222 = 400.
Menaksir Hasil Kali dan
Hasil Bagi. Cara menaksir hasil kali atau hasil bagi dua bilangan yaitu dengan
membulatkan kedua bilangan kemudian hasil pembulatan dari kedua bilangan
tersebut dikali atau dibagi. Banyak kelompok yang ikut gerak jalan 18 Tim.
Setiap Tim beranggotakan 21 anak. Berapa kira-kira jumlah anak yang ikut gerak
jalan?
Lambang taksiran yaitu?
Misalnya 21 × 29 = 20 ×
30
= 600
Dibaca dua puluh satu kali dua puluh sembilan
kira-kira enam ratus.
10 Bilangan Bulat
Angka 8 lebih dari 5.
Angka 8 dibulatkan ke 10.
Jadi, angka 18 dibulatkan
ke Banyak Tim = 18 dibulatkan 20. Puluhan terdekat menjadi 20. Angka kurang dari
5. Banyaknya anggota setiap Tim = 21 dibulatkan 20. Angka 1 dibulatkan ke 0.
Taksiran jumlah siswa =
20 × 20 = 400.
Jadi, jumlah anak yang
ikut gerak jalan kira-kira ada 400.
Apabila hasil
perkaliannya dibulatkan, diperoleh hasil berikut.
18 × 21 = 378 (hasil
sebenarnya) Pembulatan ke puluhan terdekat:
378 = 370 + 10 = 380
dibulatkan menjadi Jadi, angka 21 dibulatkan kepuluhan terdekat menjadi 20.
Angka 8 lebih dari
5.Angka 8 dibulatkan menjadi 10.
378-dibulatkan ke puluhan
terdekat menjadi 380. Jadi, 18 × 21 = 380.
Pembulatan ke ratusan
terdekat:
378 = 300 + 100 = 400
dibulatkan menjadi Angka 78 lebih dari 50. Angka 78 dibulatkan menjadi
100.
378-dibulatkan ke ratusan
terdekat menjadi 400. Jadi, 18 × 21 = 400.
Apabila panitia
menyediakan minuman sebanyak 576 botol untuk peserta gerak jalan, kira-kira
berapa botol minuman yang didapatkan setiap Tim? Permasalahan di atas
diselesaikan dengan menaksir. Begini penyelesaiannya.
Banyak minuman yang
didapatkan setiap Tim: 576 : 18
576 = 500 + 100 = 600
dibulatkan menjadi 576 : 18 = 600 : 20= 30
18 = 10 + 10 = 20
dibulatkan menjadi
Diperoleh 600 : 20 = 30.
Jadi, banyak minuman yang
didapatkan setiap tim kira- kira 30 botol. Secara umum, cara menaksir hasil
kali dan hasil bagi sebagai berikut.
1. Bulatkan
bilangan-bilangan yang dioperasikan.
2. Kalikan atau bagilah
bilangan-bilangan yang dibulatkan itu.
Selanjutnya silahkan Klik Kembali untuk menuju Label Pendidikan (Education) dan Klik Sitemap pada bilah atas semoga menemukan apa yang anda cari dari situs Abah Opar and terimakasih sudah berkunjung "good luck"
